Float, Double Point, IEEE 754 (C++ Number)

참고한 것들

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Bitwise §

• 여기 에서 사용한 bitwise printer 를 그대로 사용해서 float, double 에 대해 알아보자.

Float §

• Float 는 Floating-point number (부동소수점) 으로 실수를 표현한다. 즉,

$$\pm M\ast 2^E$$

• 각 기호는 다음과 같다.
  • $\pm$ (Sign, 부호): 말 그대로 부호.
  • $M$ (Mantissa, 가수): 2의 제곱으로 표현되지 않는 부분. $E$ 를 조절해서 $1\le M<2$ 에 들어오도록 한다.
  • $E$ (Exponent, 지수): 2의 몇제곱인지.
• Float 의 경우에는 32비트로 구성되며 다음과 같은 layout 을 가진다:
  • 첫 1비트는 부호 (Sign)
  • 그다음 8비트는 지수 (Exponent)
  • 나머지 23 비트는 가수 (Mantissa)
• 다만, 얘네들이 그대로 저장되는 것은 아니고, bit 로 표현하기 위한 변환을 거친다.
  • 부호 (Sign) 의 경우에는 양수일 때 0, 음수일 때 1로 저장된다.
  • 지수 (Exponent) 의 경우에는 Bias 라고 불리는 $2^7-1$ 를 더해준다.
    • 이것은 지수를 위한 부호 bit 없이도 양수와 음수를 전부 표현할 수 있게 해준다.
      • 2의 보수를 이용한 정수 표현보다 이렇게 하는 것이 뭐 여러모로 더 좋댄다.
    • 양, 음수의 지수와 무한대, NaN 등은 8bit 로 다음과 같이 표현된다.
      • Exponent bit 가 모두 1인 경우 (11111111), 양의 무한대, 음의 무한대, 숫자가 아님 (NaN) 셋 중의 하나다.
        • 양의 무한대는 Sign bit 가 0, Mantissa bit 가 모두 0
        • 음의 무한대는 Sign bit 가 1, Mantissa bit 가 모두 0
        • NaN 은 Sign bit 은 상관없고 Mantissa bit 가 모두 1
  • 가수 (Mantissa) 의 경우에는 어차피 $1\le M<2$ 이기 때문에 1을 빼서 저장한다.
• 정리하면, 다음과 같다.

Float: S EEEEEEEE MMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMM

BIT	DESC.	CALC
0 (1bit)	Sign (부호) 표현	양수면 0, 음수면 1
1~8 (8bit)	Exponent (지수) 표현	$E+2^7-1$
9~31 (23bit)	Mantissa (가수) 표현	$M-1$

• 그리고 특수값들은 다음과 같이 표현된다.

TYPE	SIGN	EXP.	MANT.
+inf	0 (positive)	11111111	0~ (All-zero)
-inf	1 (negative)	11111111	0~ (All-zeo)
NaN	s (don’t care)	11111111	1~ (All-non-zero)

예시 §

• $0.125$ 는 다음과 같이 표현된다.

$$0.125=1\ast 2^{-3}$$

• 따라서,
  • Sign: $0_2$
  • Exponent: $-3+127=124=01111100_2$
  • Mantissa: $1-1=00000000000000000000000_2$
• 그리고 실제로 그렇게 출력된다.

int main() {
	PrintBits<float>(0.125);
}

00111110000000000000000000000000

Double §

• Double 은 Float 과 동일하고, 다만 각 field 길이만 다르다.

FIELD	LEN (DOUBLE)	LEN (FLOAT)
Sign	1	1
Exponent	11	8
Mantissa	52	23
SUM	64 (8byte)	32 (4byte)

• 가령 위의 float 에서와 동일한 예시는 다음과 같이 출력된다.

int main() {
	PrintBits<double>(0.125);
}

0011111111000000000000000000000000000000000000000000000000000000

Float 과의 차이점 §

• 둘 간의 차이점은 얼마나 정확하게 (precision) 어떤 값을 표현할 수 있는가 이다.
  • 보통 float 은 7-precision 을 가지고, double 은 15-precision 을 가진다고 하는데,
  • 이 숫자는 “몇개의 decimal 을 보장할지” 라고 생각하면 된다.
• 가령 다음 예를 보자.

#include <iostream>
#include <iomanip>
 
int main() {
	double val_d = 5.123456789012345;
	float val_f = 5.123456789012345;
	std::cout << std::setprecision(15);
	std::cout << val_d << std::endl;
	std::cout << val_f << std::endl;
}

• 중간에 std::setprecision() 는 표준출력에 대한 precision 을 설정하는 부분이다.

5.12345678901235
5.12345695495605

• 이때, double 의 경우에는 15개의 숫자가 정확하게 출력되었지만, float 의 경우에는 7개까지는 제대로 출력되다 그 이후부터는 이상한 값이 들어감을 알 수 있다.